从上一篇文章 https://www.luogu.com.cn/article/a0rd1bxx 的线性代数大学习中，我们知道旋转可以视为乘以一个矩阵。
那么，记 $R_\theta$ 是旋转 $\theta$ 对应的矩阵。
设旋转 $\alpha$ 的变换 $f_\alpha (P) = R_\alpha P$，以及相应的旋转 $\beta$ 角的变换 $f_\beta (P) = R_\beta P$。
显然有旋转 $\alpha + \beta$ 角等于先转 $\alpha$ 再转 $\beta$，也就是说 $f_{\alpha+\beta}(P) = f_\alpha(f_\beta(P))$ 恒成立。那么，代入函数的定义：
$R_{\alpha+\beta}P = R_\alpha (R_\beta P)$
用结合律，就有
$R_{\alpha+\beta}P = (R_\alpha R_\beta) P$
既然对任意向量两个矩阵的变换结果相同，那么它们肯定是相同的。有
$R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta$
这样，由于我们知道 $R_{\alpha+\beta}$ 中包含 $\sin (\alpha+\beta)$ 和 $\cos (\alpha+\beta)$ 项，我们就可以用矩阵乘法算出来 $R_{\alpha+\beta}$，然后从中取出相应的项。
计算过程如下：
$R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}$
根据矩阵乘法法则（第一行乘以第一列，第一行乘以第二列……）： $R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & -\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta \end{pmatrix}$
整理一下： $R_\alpha R_\beta = \begin{pmatrix} \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta & -(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) \\ \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta & \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix}$
因为 $R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta$，所以两个矩阵的对应元素必须相等。我们来比较一下左上角和左下角的元素：
- $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
- $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
发现了吗？这样得到的结果与和角公式是相同的，于是我们就证明了和角公式。
笑点解析：本文使用了循环论证的手法。
当然，本文也可以不仅仅是循环论证。我们考虑用比和角公式更基本的方法找出旋转矩阵，这样我们的证明就是成立的了。
这是最纯粹的几何方法。我们不预设任何三角函数知识，而是从旋转这个变换本身的性质出发。
定义旋转：我们定义一个逆时针旋转 $\theta$ 角的变换 $R_\theta$ 是一个线性变换，它必须满足以下几个几何性质：
- 保长度：旋转一个向量，其长度不变。$||R_\theta \mathbf{v}|| = ||\mathbf{v}||$.
- 保定向：旋转不会把平面“翻转”过来（比如变成镜像）。在线性代数里，这意味着变换矩阵的行列式为 +1。
- 变换基向量：我们来看看它如何作用于基向量 $\mathbf{i} = (1, 0)$ 和 $\mathbf{j} = (0, 1)$。
- 将 $\mathbf{i}=(1,0)$ 旋转 $\theta$ 角，根据单位圆的定义，得到的新向量就是 $(\cos\theta, \sin\theta)$。注意：这里的 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 仅仅是单位圆上一个点的坐标的记号，我们暂时不知道它们的任何性质（比如和角公式）。
- 将 $\mathbf{j}=(0,1)$ 旋转 $\theta$ 角，得到的新向量是 $(-\sin\theta, \cos\theta)$。
构造矩阵：线性变换的矩阵，其第一列就是变换后的 $\mathbf{i}$，第二列就是变换后的 $\mathbf{j}$。所以，我们直接得到了旋转矩阵： $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
这个矩阵的推导过程完全没有使用和角公式。它仅仅是基于“旋转”这个变换作用在基向量上的几何结果。
这说明了，旋转的几何性质和代数性质是相同的。我们可以选择几何方法或者代数方法定义它，然后推导出它的全部性质，不会有什么差别。
然而，你可以发现，我们的文章仍然存在诸多漏洞。
我们假设了旋转是一种线性变换。这是一个先验知识，其实问题不大，毕竟我们总是需要一些公理。
然而，在使用了这个先验知识之后，我们又诉诸了几何直觉：两个基向量旋转的结果，与“单位圆上与原点连线和 x 轴成一定夹角的点的坐标”有关，这本质上已经诉诸了几何直觉，这就要求我们证明几何直觉和“线性变换”之间是自洽的。
更严重的是，我们假设“旋转 a+b，等价于旋转 a 再旋转 b”，对于一般的线性变换，这是不成立的（“旋转 a+b”对于一般的线性变换根本不知道你在说什么）。而这一条里面很可能已经蕴含了和角公式。
能不能救呢？可以的。
疑虑一：几何直觉与“线性变换”公理的自洽性
线性变换的定义是：$T(a\mathbf{u} + b\mathbf{v}) = aT(\mathbf{u}) + bT(\mathbf{v})$。 我们可以把它拆成两步来验证我们对“旋转”的几何直觉：
- $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$（可加性）
- 几何直觉：向量加法 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 遵循平行四边形法则。$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是平行四边形的两条边，$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ 是对角线。
- 旋转操作：旋转是一种刚体变换。它会移动和旋转图形，但不会改变图形的形状和大小。
- 自洽性证明：当我们旋转整个平行四边形时，它仍然是一个平行四边形。原来的边 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 变成了旋转后的 $R(\mathbf{u})$ 和 $R(\mathbf{v})$。原来的对角线 $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ 变成了旋转后的 $R(\mathbf{u}+\mathbf{v})$。由于旋转后的图形依然是平行四边形，所以它的对角线必然等于两条边的和，即 $R(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = R(\mathbf{u}) + R(\mathbf{v})$。
- 结论：可加性成立。
这本质上是三角形全等。
- $T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$（齐次性）
- 几何直觉：向量 $c\mathbf{u}$ 是将向量 $\mathbf{u}$ 的长度缩放 $c$ 倍（方向可能相反）。
- 旋转操作：旋转保持长度不变。
- 自洽性证明：旋转 $c\mathbf{u}$ 时，它的方向会改变，但长度仍然是 $\mathbf{u}$ 的 $c$ 倍。这与先旋转 $\mathbf{u}$ 得到 $R(\mathbf{u})$，再将其长度缩放 $c$ 倍得到的结果 $cR(\mathbf{u})$ 是完全一样的。
- 结论：齐次性成立。
这和相似则是类似的。
通过这个论证，我们证明了我们脑海中那个直观的、刚性的“旋转”概念，内生地满足线性变换的代数定义。所以，将“旋转是线性变换”作为起点是合理且自洽的。
疑虑二：“旋转 $\alpha+\beta$ = 先转 $\alpha$ 再转 $\beta$” 这一条里面很可能已经蕴含了和角公式
这是更致命、也更深刻的一个问题。
这个性质 $R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta$ 实际上是在描述旋转变换构成了一个阿贝尔群（交换群），并且这个群的结构与实数的加法群是同构的。这确实是一个非常强的性质。
那么，这个性质本身是否依赖于和角公式呢？
答案是：不依赖，如果我们小心地定义我们的术语。
这里的关键在于我们如何定义“角度”和“角度的加法”。
- 操作主义定义：让我们把旋转操作本身视为最基本的东西。
- 有一个操作叫“旋转”，它由一个参数（我们称之为“角度”）来标识，记作 $R_\theta$。
- 我们观察到，连续进行两次旋转操作 $R_\beta$ 和 $R_\alpha$（即复合函数 $R_\alpha \circ R_\beta$），其结果也是一个旋转操作。
- 我们定义“角度的加法”为：如果 $R_\alpha \circ R_\beta$ 的结果是 $R_\gamma$，那么我们就定义 $\gamma = \alpha + \beta$。
看到这里的精妙之处了吗？我们不是先有了角度的加法，然后去证明旋转复合满足这个关系。我们是反过来，用旋转的复合操作来定义角度应该如何相加。
在这种视角下，等式 $R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta$（这里矩阵乘法代表函数复合）就不是一个需要证明的定理，而是一个定义式，它定义了下标“+”的含义。
所以，我们的证明可以被拯救，并变得更加严谨：
严谨化后的证明逻辑链
- 公理1（几何）：我们接受一个几何实体叫“旋转”，它是一种刚体运动，保持原点不动。
- 定理1（线性）：从公理1，我们证明了旋转是一种线性变换（如上文所述）。
- 推论1（矩阵）：因为旋转是线性变换，所以它可以表示为一个矩阵。通过考察基向量的变换，我们得到 $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$。在这里，$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 仅仅是单位圆上点的坐标的记号，我们对它们的函数性质一无所知。
- 公理2（群结构）：旋转的集合在函数复合下构成一个群。任意两个旋转的复合仍然是一个旋转。
- 定义1（角度加法）：我们定义角度的加法 $\alpha+\beta$ 是这样一个角度 $\gamma$，它使得 $R_\gamma = R_\alpha \circ R_\beta$。因此，关系式 $R_{\alpha+\beta} = R_\alpha R_\beta$ 成为我们体系内的真理（根据定义）。
- 最终推导：现在，我们将来自推论1的矩阵形式代入到来自定义1的关系式中： $\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) & \dots \\ \sin(\alpha+\beta) & \dots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \dots \\ \sin\alpha & \dots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & \dots \\ \sin\beta & \dots \end{pmatrix}$
- 结论：通过计算右侧的矩阵乘积，我们就发现了 $\cos(\alpha+\beta)$ 和 $\sin(\alpha+\beta)$ 必须满足的代数恒等式。这些恒等式就是我们所说的“和角公式”。
致谢 && 声明：感谢 Gemini 对本文做出的贡献。Gemini 提供了避免循环论证的思路。