永远在增加新题目的路上。
一根长度为 1，宽度不计的针，抽象为线段。在平面上，你需要通过一系列平移和旋转操作使得针扫过每个方向，并最后回到原位，请问针经过的所有点的集合的面积最小是多少？
给定六个正整数，你需要分别以前三个和后三个为边长构造同一平面上的两个三角形并最大化它们的交集的面积，请问这个面积是多少？
请使用实数常量，不等关系与等于号，加法和乘法，逻辑连接词与实数上的量词，写出一个公式 $\Phi$，使得对任意实数 $x$，它是整数当且仅当 $\Phi(x)$ 成立
一根长 1 公里的橡皮筋。一只蚂蚁在它的一端，以每秒 1 厘米的速度向另一端爬行。与此同时，橡皮筋自身以每秒 1 公里的速度均匀伸长（比如，它的中点以 0.5 公里/秒的速度远离起点，终点以 1 公里/秒的速度远离起点）。请问，蚂蚁最终能爬到终点吗？
在平面上给定一条任意的简单封闭曲线（即首尾相连、不自交的环路），请问是否一定能在曲线上找到四个点，使得它们构成一个正方形的四个顶点？
有一块 $m \times n$ 的矩形巧克力，左上角那一格是苦的（毒药）， 两个人轮流掰巧克力。
每次必须选剩下的巧克力中的某一格，把这一格右边和下边的所有部分（包括这一格自己）全部掰掉吃掉。
吃到左上角苦巧克力的人输。
请问：对于任意 $m, n > 1$，先手必胜还是后手必胜？
如果一方必胜，第一步该怎么掰？
在宽度为 1 的 L 型走廊直角转弯处，能够通过的刚性（不可形变）二维物体的最大面积是多少？
我们把一个自然数 $n$ 写成“遗传 $k$ 进制”的形式。比如在 2 进制下，$19 = 2^4 + 2^1 + 2^0$，我们把指数也必须写成 2 进制，直到所有数字只包含 $k$ 和 0。 比如 $19$ 在 2 进制的遗传写法是 $2^{2^2} + 2^1 + 2^0$。
现在的游戏规则是：
- 把 $n$ 写成遗传 $k$ 进制（初始 $k=2$）。
- 把式子中所有的底数 $k$ 换成 $k+1$（底数膨胀）。
- 把结果减 1。
- 重复步骤 1-3（下一次用 $k+2$ 进制）。
请问，如果你从 $19$ 开始玩这个游戏，这个数字最终会变成 0 吗？
对一个平面染色，任意两个距离为 1 的点不能染为同色。请问最少需要多少颜色才能染满整个平面？
求方程的任一整数解：$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = 4$。
找到一个长方体，它的所有棱、所有面对角线以及体对角线的长度都是整数。
在平面上是否存在一个点，其到单位正方形四个顶点的距离都是有理数？
在 $[1, 100]$ 中选取整数，使得不存在任意一对被选中的数的和是完全平方数。最多能选取多少？在 $[1, 1000]$ 中呢？
给定一个正整数 $n$，请问是否存在三条边长均为有理数（分数或整数）的直角三角形，使得它的面积恰好为 $n$？
举例：
- $n=6$ 是可以的，因为存在边长为 $3, 4, 5$ 的直角三角形，面积是 $\frac{3\times 4}{2}=6$。
- $n=5$ 是可以的，虽然稍微难凑一点，边长是 $\frac{3}{2}, \frac{20}{3}, \frac{41}{6}$，面积是 5。
- 请问 $n=1$ 可以吗？$n=157$ 呢？请总结出一个通用的判定法则。
求证：对于任意正整数 $n$，在 $[n^2, (n+1)^2]$ 中必然存在至少一个素数。
找找看，除了 $4!+1=5^2$, $5!+1=11^2$ 和 $7!+1=71^2$ 以外，还有没有其他的 $n!+1=m^2$？如果有，请找出来；如果没有，请证明。